Las formas proposicionales como expresiones veritativo funcionales

Analizaremos cómo las formas proposicionales son fórmulas veritativo funcionales, o sea, de qué modo son susceptibles de adoptar uno u otro valor de verdad según las proposiciones simples que contengan sean verdaderas o falsas y según el significado de las conectivas que las unen.
Dentro de la lógica simbólica, que se vale de símbolos para analizar razonamientos y sus partes, se encuentra la lógica proposicional.
La lógica proposicional simboliza, generalmente con letras minúsculas del alfabeto (p, q, r, s, por ejemplo) las denominadas proposiciones simples o atómicas que constituyen las partes de ciertas oraciones más complejas.
Por ejemplo, en la oración "llueve y hace frío" nos encontramos con dos proposiciones simples ("llueve" es una y la otra "hace frío") que se encuentran unidas por una conectiva lógica llamada conjunción.
En este caso, al simbolizar la oración a partir de sus proposiciones componentes y el modo cómo se unen obtenemos una expresión que se denomina forma proposicional, y a veces algo equívocamente forma de enunciado.
En la nomenclatura habitual de la lógica proposicional se simbolizaría
p . q (que se lle " p y q"), siendo el puntito el símbolo de la mencionada conjunción.
Naturalmente, una forma proposicional puede ser más compleja, como la que resultaría de simbolizar las proposiciones atómicas de "si no llueve ni hace frío voy a tu casa o al cine", por ejemplo. Pero dejaremos para otra ocasión la simbolización para intentar clarificar el significado y alcance de una forma proposicional.
Se dice que éstas son expresiones "veritativo funcionales", o que una forma proposicional es funcion de verdad de las proposiciones simples o atómicas que contiene y del significado de las conectivas lógicas que las vinculan.
Esto puede parecer complejo, pero no lo es realmente. Que una cierta forma proposicional es tal mencionada cosa significa que su valor de verdad (que "llueve y hace frío" sea una expresión verdadera o falsa dependerá de dos cosas: si sus elementos componentes son verdaderos o falsos (p y q respectivamente) y del significado de las conectivas que las vinculan.
El significado de la conjunción es que es verdadera únicamente cuando las dos partes que une son verdaderas.
Por ejemplo, la oración "el la Luna es un satélite y gira alrededor de marte" es una oración falsa, porque "la Luna es un satélite" es verdadera (sería p) pero "la Luna gira alrededor de Marte" es una proposición simple falsa, por lo que la conjunción es falsa. "una silla es un mueble y tiene patas" es una oración verdadera.
Entonces dada cualquier forma proposicional de la forma "p . q", ella sólo será verdadera cuando p, sea lo que fuere que simbolice, es verdadera y q también. En cualquier otro caso será falsa (Verdadero/Falso; Falso/Verdadero; Falso/Falso).
Diferentes formas proposicionales, con diferente estructura interna y diferentes conectivas tendrán distintos modos de poder ser verdaderas o falsas, dependiendo de los dos aspectos mencionados, pero una vez determinado si p, q, r, etc. son verdaderas o falsas y una vez advertidas las conectivas que las unen (cuyo significados los lógicos conocen y los estudiantes deben asimilar), queda determinado por completo el valor de verdad de la expresión total.

Cuantificador universal y proposiciones universales en lógica de predicados

En lógica de predicados, a veces también llamada lógica cuantificacional, es posible analizar la estructura interna de las proposiciones, lo que no resulta realizable en la lógica proposicional.

Vale decir que para la lógica proposicional la expresión "todo alemán es europeo" sólo puede simbolizarse para su análisis con una letra proposicional, digamos "p", sin poder estudiar su estructura interna.

La lógica de predicados permite analizar y diferenciar individuos de propiedades. En el caso de la oración superior, es típicamente lo que en lógica de predicados se denomina proposición universal.

Las proposiciones universales se pueden identificar en las oraciones (nótese que diferenciamos la oración de su estructura) porque suelen (cuidado: esto no ocurre siempre) tener palabras como "todos", "todo", "ningún", "cualquier", "nada", "nadie" de manera que su significado señale que se trata de una oración en la que se está predicando algo sobre un potencial conjunto.

La palabra "todos" y sus equivalentes lógicas expresan el cuantificador universal. Es interesante apreciar que el cuantificador tiene un significado lógico definido, lo que puede apreciarse comparando ciertas oraciones universales con otras que no lo son.

Pero primero intentemos explicar tal significado: el cuantificador señala que se está haciendo una descripción de un conjunto dado cuyos elementos son potencialmente infinitos. Por ejemplo, si se afirma "Todos los cuervos son negros", esta expresión que cuya forma lógica es universal pura o ireestricta, carece de restricción o delimitación alguna en cuanto a su ámbito de predicación. O sea, significa que si hay un cuervo en un momento y en un lugar determinado, será negro.

Nótese que al ser una afirmación irrestricta se predica respecto de cualquier momento posible, por lo que toda afirmación con un cuantificador universal empírica (como la de los cuervos) es inverificable. Y también que alude a un conjunto potencial, porque no afirma existencia, por lo que simboliza como un condicional y esto implica también que puede ser un enunciado verdadero si no hay cuervos.

Sin embargo hay otras expresiones, denominadas generalizaciones accidentales, en las que la palabra "todos" tiene un sentido diferente, como en "todos los botones de mi camisa son negros", en la que no tenemos la predicación sobre un conjunto potencialmente infinito, sino que se describen ciertas características de un objeto situado espaciotemporalmente.

Cabe recordar que así como para la lógica un predicado lógico puede ser diferente de un predicado gramatical, lo mismo sucede entre la forma gramatical y la forma lógica.

Una proposición universal puede aparecer negada, con una negación interna. Hemos de diferenciar entonces entre una negación interna a la proposición y una negación de la proposición ("No es verdad que todos los cuervos son negros" o "No todos los cuervos son negros", que es lo mismo dicho de otro modo).

"Ningún cuervo es negro" es una proposición universal que resulta de la mencionada negación interna (como puede verse en la simbolización de abajo), lo mismo que "Ningún cuervo es no negro" (naturalmente estas dos últimas son incompatibles, no pueden ser ambas verdaderas, pero este es otro asunto), ya que estas expresiones significan "para todo x, si x es un cuervo...".

En la lógica clásica se denominaba "proposiciones categóricas" a las proposiciones generales en las que hay más de una letra de predicado afectada por un cuantificador. La que tiene la forma (x) (Cx → Nx), que se lee "para todo x, si x es cuervo, entonces es negro" se denomina proposición universal afirmativa. Aclaremos que esta es una de las formas de notación de la lógica de predicados.

Y por otra parte la forma simbolizada (x) (Cx → -B) es la correspondiente a "Ningún cuervo es blanco", que se lee "para todo x, si x es cuervo, entonces no es blanco", en la que el signo "-" (el menos de la matemática) simboliza la negación, y se denomina proposición universal negativa.

Sobre el carácter "formal" de la lógica

Es necesario tener en cuenta que el carácter "formal" de la lógica no significa que todos los términos (las palabras) de sus expresiones (formas lógicas o formas proposicionales) carezcan de significado.

Por ejemplo: dada la expresión "Todo A es B", esta es una proposición universal, de acuerdo con la terminología tradicional en la que "A" y "B" no designan nada, no describen nada, no tienen significado.

Precisamente porque tanto A como B cumplen el rol de variables, la oración no se refiere a nada y no tiene valor de verdad (no es verdadera ni falsa).

Pero ello no implica que la expresión carezca totalmente de significado: las expresiones lógicas sí tienen significado. La palabra "todos" en la oración es interpretada usualmente como el cuantificador universal, que cumple la función lógica de indicar el ámbito de predicación potencial de la afirmación: dondequiera que haya un A, habrá un B, sin excepciones.

El cuantificador universal, como es sabido, no afirma existencia, pero posee un significado lógico preciso que lo diferencia de otras expresiones lógicas como "existe", que es el cuantificador existencial, y de otras palabras con significado no lógico: expresiones sincategoremáticas y términos descriptivos.

En consecuencia, puede verse que la lógica es "formal" en el sentido de que el estudio de formas de razonamiento o de formas proposicionales o proposiciones con variables puede ser entendido como el análisis de estructuras pasibles de interpretación en uno u otro sentido.

Por ejemplo, la oración de arriba se puede interpretar como "Todos los cuervos son aves", "Todos los franceses son europeos", etcétera. Lo que muestra que, luego de un breve análsis semántico de estos aspectos de la lógica, se puede apreciar que "formal", carente de significado y carente de valor de verdad son cosas diferentes.

Forma logica y validez de un razonamiento

Si se tiene un determinado razonamiento o argumento no formalizado, en lenguaje natural, solo se puede saber con certeza si se ha razonado correctamente, o sea si es o no valido, con el simple hecho de examinar los valores de verdad de sus premisas y su conclusion si la ultima es falsa y las premisas primeras.

Pero si no es ese el caso, lo que puede hacerse es buscar otro argumento o razonamiento con la misma forma logica, pero que tenga premisas verdaderas y conclusion falsa.

Si se lo encuentra se demuestra que el primer razonamiento no es correcto, de manera que se prueba que su forma logica es invalida.

Sin embargo, si no se encuentra tal argumento con premisas verdaderas y conclusion falsa y la misma estructura o forma no se demuestra que el razonamiento sea correcto, que su forma sea valida.

En suma, examinando valores de verdad de premisas y conclusion se puede saber con certeza que una forma logica es invalida, pero no si es valida, con el solo hallazgo de un argumento informal con premisas verdaderas y conclusion falsa.