Relaciones lógicas entre formas proposicionales

En lógica proposicional se presentan relaciones lógicas entre formas proposicionales.

Típicamente las relaciones que puede haber entre un par de formas proposicionales son contradictoriedad, contrariedad o incompatibilidad, implicación, subcontrariedad y equivalencia lógica.

Dos formas proposicionales son contradictorias cuando es imposible que sean verdaderas al mismo tiempo en cualquier caso de sustitución y, además, es imposible que sean falsas al mismo tiempo.
Técnicamente, para ningún caso de sustitución de la tabla de verdad de las mismas ocurre que ambas son verdaderas ni ocurre que ambas son falsas.
Otra definición: dadas dos fórmulas proposicionales A y B, no pueden ser simultáneamente verdaderas ni pueden ser falsas simultáneamente.
Otra definición: dos formas proposicionales son contradictorias si y sólo si cuando una es verdadera la otra es falsa.

Dos formas proposicionales son contrarias (o incompatibles) cuando no pueden ser verdaderas simultáneamente en ninguna interpretación (o caso de sustitución) pero sí falsas.
Otra definición: son contrarias cuando no son ambas verdaderas en ningún caso de sutitución de la tabla de verdad pero sí falsas en algún caso.
Esta definición es diferente de la equivocada "dos formas proposicionales son contrarias cuando no pueden ser simultáneamente verdaderas en ningún caso de sustitución", pues esta es equivalente (bajo el supuesto de que la lógica es bivalente, o sea del principio de no contradicción) a "dos formas proposicionales son contrarias cuando no son simultáneamente verdaderas en ningún caso de sustitución".
Pero si se toman dos formas proposicionales A y -A (no A), se satisface la segunda definición, por lo que estas contradictorias serían también contrarias.
Pero la contradictoriedad significa que ambas no pueden ser simultáneamente verdaderas ni tampoco simultáneamente falsas, por lo que si siendo contrarias son también contradictorias, entonces tampoco pueden ser simultáneamente falsas, y ya no hay diferencia entre contrariedad y contradictoriedad.

Una forma proposicional implica a otra si no puede ocurrir que la primera sea verdadera y la segunda sea falsa. O sea, si no ocurre en ningún caso de sustitución que la primera sea verdadera y la segunda falsa.

Dos formas proposicionales son lógicamente equivalentes cuando se implican mutuamente. En consecuencia, no habrá ningún caso de sustitución en el que sean ambas verdaderas ni tampoco algún caso en que sean ambas falsas.

Dos formas proposicionales son subcontrarias cuando no pueden ser ambas falsas simultáneamente pero sí verdaderas. O sea, no son falsas simultáneamente en ningún caso de sustitución, pero hay al menos un caso en que son ambas verdaderas.